Бесконечные пространства выборки

До сих пор мы имели дело только с конечными вероятностными пространствами. Тем не менее в некоторых разделах этой главы рассматриваются ситуации, в которых случайный процесс может выполняться сколь угодно долго и не может быть нормально описан пространством выборки конечного размера.

Для таких ситуаций необходимо определить более общую концепцию вероятностного пространства. Описание содержит много технических подробностей, и отчасти мы приводим его ради полноты: хотя некоторые из рассматриваемых примеров требуют использования бесконечных пространств выборки, ни в одном из них не задействована вся мощь формальных конструкций, описанных в этом разделе.

При переходе к бесконечным пространствам выборки приходится проявлять большую осторожность при определении вероятностной функции. Мы не можем просто связать с каждой точкой пространства выборки Ω вероятностную меру, а затем вычислить вероятность нужной совокупности суммированием.

По причинам, в которые мы не будем углубляться, даже если просто разрешить рассматривать каждое подмножество Ω как событие, вероятность которого можно вычислить, это может привести к неприятностям. Обобщенное вероятностное пространство состоит из трех компонентов:

• Пространство выборки Ω.
• Набор S подмножеств Ω; только для этих событий разрешено вычисление вероятностей.
• Вероятностная функция Pr, отображающая события из S на вещественные числа из диапазона [0,1].

Совокупность S допустимых событий может быть любым семейством множеств, удовлетворяющим следующим основным свойствам замыканий: пустое множество и  полное пространство выборки Ω принадлежат S; если, то (замыкание в отношении дополнения), и если , то (замыкание в отношении счетного объединения).

Вероятностной функцией Pr может быть любая функция из S в [0,1], удовлетворяющая следующим базовым свойствам непротиворечивости: Pr[Ω]  = 1,  и граница объединения для непересекающихся событий (13.49) должна выполняться даже для счетных объединений — если  являются попарно непересекающимися.