Геометрическая эффективная граница

Если прибыли реинвестируются, то для координаты эффективной границы по оси Y правильнее рассматривать геометрическое среднее HPR. Такой подход многое меняет. Формула для преобразования точки на эффективной границе из арифметического HPR в геометрическое такова:

GHPR = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2),  (7.5)

где GHPR — геометрическое среднее HPR; AHPR — арифметическое среднее HPR;

V — координата дисперсии (она равна координате стандартного отклонения в квадрате).

Построив линию GHPR, можно определить, какой портфель является геометрически оптимальным (наивысшая точка на линии GHPR).

Вы можете найти этот портфель, преобразовав AHPR и V каждого портфеля на эффективной границе AHPR в GHPR с помощью уравнения (7.5) и выбрав максимальное значение GHPR. Однако, зная AHPR и V портфелей, лежащих на эффективной границе AHPR, можно еще проще определить геометрический оптимальный портфель. Он должен удовлетворять следующему уравнению:

AHPR – 1 – V = 0,                                          (7.6, а), 

где AHPR — арифметическое среднее HPR, т. е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;

V — дисперсия HPR, т. е. координата V данного портфеля на эффективной границе. Она равна стандартному отклонению в квадрате.

Уравнение (7.6, а) также можно представить следующим образом:

AHPR – 1 = V,                                                           (7.6, б)

AHPR – V = 1,                                             (7.6, в)

AHPR = V + 1.                                            (7.6, г)

Необходимо сделать небольшое замечание по геометрическому оптимальному портфелю. Дисперсия в портфеле в общем случае имеет положительную корреляцию с наихудшим проигрышем. Более высокая дисперсия обычно соответствует портфелю с более высоким возможным проигрышем.

Так как геометрический оптимальный портфель является портфелем, для которого Е и V равны (при Е = = AHPR – 1), мы можем допустить, что геометрический оптимальный портфель будет иметь высокие проигрыши. Фактически чем больше GHPR геометрического оптимального портфеля (т. е. чем больше зарабатывает портфель), тем больше может быть его текущий проигрыш (откат по балансу счета), так как GHPR положительно коррелирован с AHPR.

Здесь мы видим некий парадокс. С одной стороны, нам следует использовать геометрический оптимальный портфель, с другой — чем выше среднее геометрическое портфеля, тем бóльшими будут откаты по балансу счета в процентном выражении.

Мы знаем также, что при диверсификации следует выбирать портфель с наивысшим средним геометрическим,  а не с минимальным проигрышем, но эти величины стремятся в противоположных направлениях! Геометрический оптимальный портфель — это портфель, который расположен в точке, где линия, прочерченная из (0, 0) с наклоном 1, пересекает эффективную границу AHPR.